大类 | 序号 | 知识点 | 学习要求 | 学习时长建议 | 学习资源 | 难点总结 | 课后练习 | 过关考试 |
函数与极限基础 | 1 | 函数的基本概念与性质 | •理解函数的概念和表示方法 •掌握函数的定义域、值域和图像 •理解函数的基本性质（单调性、奇偶性、周期性） •掌握反函数和复合函数的概念和性质 •能够应用函数概念描述实际问题 | 建议 8 小时（理论学习 4 小时，练习 4 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《微积分》第一章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 2.中国大学 MOOC《微积分》（铜陵学院）第一章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 3.《微积分》（同济大学，第七版）第一章 | •复合函数的理解需要结合具体例子 •反函数的存在条件需要深入理解 •函数性质的综合应用需要系统掌握 | 1.确定给定函数的定义域和值域 2.判断函数的单调性、奇偶性和周期性 3.求给定函数的反函数和复合函数 4.应用函数概念描述实际问题（如人口增长模型、经济增长模型等） | •笔试：函数的基本概念和性质 •应用题：利用函数模型描述实际问题 |
2 | 极限的概念与运算 | •理解数列极限和函数极限的概念 •掌握极限的 ε-δ 定义和几何意义 •掌握极限的基本性质和运算法则 •理解无穷小和无穷大的概念及其关系 •能够应用极限概念解决实际问题 | 建议 12 小时（理论学习 6 小时，练习 6 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《微积分》第二章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 2.中国大学 MOOC《微积分》（铜陵学院）第二章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 3.《微积分》（同济大学，第七版）第二章 | •ε-δ 定义的理解较为抽象，需要结合具体例子 •极限的运算法则需要正确应用 •无穷小和无穷大的比较需要系统掌握 | 1.应用 ε-δ 定义证明简单极限 2.计算数列和函数的极限 3.比较不同无穷小和无穷大的阶 4.应用极限概念解决实际问题（如瞬时速度、切线斜率等） | 过关考试： •笔试：极限的概念和运算 •应用题：利用极限概念解决实际问题 |
3 | 连续函数的概念与性质 | •理解函数连续性的概念 •掌握连续函数的定义和等价条件 •理解间断点的概念和分类 •掌握连续函数的运算性质和初等函数的连续性 •掌握闭区间上连续函数的性质（最大值最小值定理、介值定理） •能够应用连续函数的性质解决实际问题 | 建议 10 小时（理论学习 5 小时，练习 5 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《微积分》第三章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 2.中国大学 MOOC《微积分》（铜陵学院）第三章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 3.《微积分》（同济大学，第七版）第三章 | •连续性的等价条件需要深入理解 •间断点的分类需要结合具体例子 •闭区间上连续函数的性质需要系统掌握 | 1.判断函数在给定点的连续性 2.确定函数的间断点并分类 3.应用连续函数的性质证明相关命题 4.应用闭区间上连续函数的性质解决实际问题（如方程根的存在性） | •笔试：连续函数的概念和性质 •应用题：利用连续函数的性质解决实际问题 |
导数与微分 | 4 | 导数的概念与几何意义 | •理解导数的概念和定义 •掌握导数的几何意义和物理意义 •理解单侧导数和可导性的概念 •掌握导数与连续性的关系 •能够应用导数概念解决实际问题 | 建议 12 小时（理论学习 6 小时，练习 6 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《微积分》第四章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 2.中国大学 MOOC《微积分》（铜陵学院）第四章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 3.《微积分》（同济大学，第七版）第四章 | •导数的定义需要深入理解 •导数的几何意义需要结合图形理解 •导数与连续性的关系容易混淆 | 1.应用导数定义求简单函数的导数 2.求曲线在给定点的切线方程和法线方程 3.应用导数概念解决实际问题（如瞬时速度、加速度等） 4.分析函数的可导性和连续性 | •笔试：导数的概念和几何意义 •应用题：利用导数概念解决实际问题 |
5 | 导数的运算与法则 | •掌握基本初等函数的导数公式 •掌握导数的四则运算法则 •掌握复合函数求导法则（链式法则） •掌握反函数求导法则 •掌握隐函数求导法和参数方程求导法 •能够应用导数运算法则计算复杂函数的导数 | 建议 14 小时（理论学习 7 小时，练习 7 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《微积分》第五章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 2.中国大学 MOOC《微积分》（铜陵学院）第五章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 3.《微积分》（同济大学，第七版）第五章 | •复合函数求导法则的应用需要熟练掌握 •隐函数求导法需要正确处理变量关系 •参数方程求导法需要正确应用链式法则 | 1.计算基本初等函数的导数 2.应用导数运算法则计算复杂函数的导数 3.应用隐函数求导法和参数方程求导法求导数 4.解决与导数运算相关的综合问题 | •笔试：导数的运算和法则 •应用题：利用导数运算法则解决实际问题 |
6 | 高阶导数与微分 | •理解高阶导数的概念 •掌握高阶导数的计算方法 •理解微分的概念和几何意义 •掌握微分的运算法则和一阶微分形式不变性 •理解微分在近似计算中的应用 •能够应用高阶导数和微分解决实际问题 | 建议 12 小时（理论学习 6 小时，练习 6 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《微积分》第六章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 2.中国大学 MOOC《微积分》（铜陵学院）第六章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 3.《微积分》（同济大学，第七版）第六章 | •高阶导数的计算需要多次应用求导法则 •微分的概念容易与导数混淆 •微分在近似计算中的应用需要正确选择近似公式 | 1.计算函数的高阶导数 2.应用莱布尼茨公式计算乘积函数的高阶导数 3.计算函数的微分 4.应用微分进行近似计算（如误差估计） | •笔试：高阶导数和微分的概念和计算 •应用题：利用高阶导数和微分解决实际问题 |
微分中值定理与导数应用 | 7 | 微分中值定理 | •理解罗尔定理的内容和几何意义 •理解拉格朗日中值定理的内容和几何意义 •掌握柯西中值定理的内容和应用条件 •能够应用微分中值定理证明相关命题 •能够应用微分中值定理解决实际问题 | 建议 12 小时（理论学习 6 小时，练习 6 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《微积分》第七章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 2.中国大学 MOOC《微积分》（铜陵学院）第七章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 3.《微积分》（同济大学，第七版）第七章 | •微分中值定理的证明需要理解其思路 •微分中值定理的应用需要正确选择定理 •微分中值定理的几何意义需要结合图形理解 | 1.应用罗尔定理和拉格朗日中值定理证明相关命题 2.应用柯西中值定理解决相关问题 3.应用微分中值定理证明不等式 4.应用微分中值定理解决实际问题（如证明函数单调性） | •笔试：微分中值定理的内容和应用 •应用题：利用微分中值定理解决实际问题 |
8 | 洛必达法则与不定式极限 | •理解洛必达法则的内容和应用条件 •掌握 0/0 型和∞/∞型不定式极限的计算方法 •掌握其他类型不定式极限（0・∞、∞-∞、0⁰、1^∞、∞⁰）的转化方法 •能够应用洛必达法则计算各类不定式极限 •能够结合其他方法（如等价无穷小替换）简化极限计算 | 建议 10 小时（理论学习 5 小时，练习 5 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《微积分》第八章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 2.中国大学 MOOC《微积分》（铜陵学院）第八章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 3.《微积分》（同济大学，第七版）第八章 | •洛必达法则的应用条件需要严格遵守 •不同类型不定式极限的转化需要系统掌握 •洛必达法则与其他方法的结合应用需要灵活处理 | 1.应用洛必达法则计算 0/0 型和∞/∞型极限 2.将其他类型不定式极限转化为 0/0 型或∞/∞型并计算 3.结合等价无穷小替换和泰勒展开简化极限计算 4.解决与不定式极限相关的综合问题 | •笔试：洛必达法则的应用 •应用题：利用洛必达法则计算各类不定式极限 |
9 | 函数的单调性与极值 | •理解函数单调性的概念和判定方法 •掌握函数极值的概念和必要条件 •掌握函数极值的第一充分条件和第二充分条件 •能够应用导数判断函数的单调性和极值 •能够应用函数的单调性和极值解决实际优化问题 | 建议 12 小时（理论学习 6 小时，练习 6 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《微积分》第九章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 2.中国大学 MOOC《微积分》（铜陵学院）第九章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 3.《微积分》（同济大学，第七版）第九章 | •函数单调性的判定需要正确应用导数的符号 •极值的必要条件和充分条件需要正确区分 •实际优化问题的建模需要正确设定目标函数和约束条件 | 1.判断函数的单调性并求单调区间 2.求函数的极值点和极值 3.应用函数的单调性和极值证明不等式 4.应用函数的单调性和极值解决实际优化问题（如最大利润、最小成本等） | •笔试：函数的单调性和极值 •应用题：利用函数的单调性和极值解决实际优化问题 |
10 | 函数的凹凸性与拐点 | •理解函数凹凸性的概念和判定方法 •掌握函数拐点的概念和判定方法 •理解函数凹凸性与二阶导数的关系 •能够应用二阶导数判断函数的凹凸性和拐点 •能够应用函数的凹凸性和拐点解决实际问题 | 建议 10 小时（理论学习 5 小时，练习 5 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《微积分》第十章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 2.中国大学 MOOC《微积分》（铜陵学院）第十章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 3.《微积分》（同济大学，第七版）第十章 | •函数凹凸性的定义需要结合图形理解 •拐点的判定需要结合二阶导数的符号变化 •函数凹凸性和拐点的应用需要结合具体例子 | 1.判断函数的凹凸性并求凹凸区间 2.求函数的拐点 3.应用函数的凹凸性和拐点解决实际问题（如曲线拟合、误差分析等） 4.结合函数的单调性、极值、凹凸性和拐点绘制函数图像 | •笔试：函数的凹凸性和拐点 •应用题：利用函数的凹凸性和拐点解决实际问题 |
积分学基础 | 11 | 不定积分的概念与性质 | •理解原函数和不定积分的概念 •掌握不定积分的基本性质 •掌握基本积分公式 •理解不定积分与导数的关系 •能够应用不定积分的性质和基本积分公式计算简单函数的不定积分 | 建议 12 小时（理论学习 6 小时，练习 6 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《微积分》第十一章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 2.中国大学 MOOC《微积分》（铜陵学院）第十一章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 3.《微积分》（同济大学，第七版）第十一章 | •原函数和不定积分的概念容易混淆 •基本积分公式的记忆需要系统掌握 •不定积分与导数的关系需要深入理解 | 1.计算简单函数的不定积分 2.验证不定积分的正确性 3.应用不定积分的性质解决相关问题 4.求满足特定条件的原函数 | •笔试：不定积分的概念和性质 •应用题：利用不定积分的概念和性质解决实际问题 |
12 | 不定积分的换元积分法 | •理解第一类换元积分法（凑微分法）的原理和步骤 •掌握第二类换元积分法的原理和步骤 •能够应用换元积分法计算复杂函数的不定积分 •能够根据被积函数的特点选择合适的换元方法 •能够应用换元积分法解决实际问题 | 建议 14 小时（理论学习 7 小时，练习 7 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《微积分》第十二章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 2.中国大学 MOOC《微积分》（铜陵学院）第十二章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 3.《微积分》（同济大学，第七版）第十二章 | •第一类换元积分法的关键是凑微分，需要灵活选择变量替换 •第二类换元积分法的变量替换需要正确选择 •换元积分法的应用需要结合被积函数的特点 | 1.应用第一类换元积分法计算不定积分 2.应用第二类换元积分法计算不定积分 3.综合应用换元积分法解决复杂不定积分问题 4.应用换元积分法解决实际问题（如曲线长度计算、面积计算等） | •笔试：不定积分的换元积分法 •应用题：利用换元积分法计算复杂函数的不定积分 |
13 | 不定积分的分部积分法 | •理解分部积分法的原理和公式 •掌握分部积分法的应用步骤 •能够应用分部积分法计算复杂函数的不定积分 •能够根据被积函数的特点选择合适的积分方法 •能够综合应用换元积分法和分部积分法计算不定积分 | 建议 12 小时（理论学习 6 小时，练习 6 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《微积分》第十三章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 2.中国大学 MOOC《微积分》（铜陵学院）第十三章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 3.《微积分》（同济大学，第七版）第十三章 | •分部积分法的关键是正确选择 u 和 dv •分部积分法的多次应用需要系统掌握 •分部积分法与换元积分法的结合应用需要灵活处理 | 1.应用分部积分法计算不定积分 2.综合应用分部积分法和换元积分法计算复杂不定积分 3.应用分部积分法解决实际问题（如概率密度函数积分、信号处理等） 4.解决需要多次应用分部积分法的问题 | •笔试：不定积分的分部积分法 •应用题：利用分部积分法计算复杂函数的不定积分 |
14 | 定积分的概念与性质 | •理解定积分的概念和定义 •掌握定积分的几何意义和物理意义 •掌握定积分的基本性质 •理解定积分与不定积分的关系 •能够应用定积分的概念和性质解决实际问题 | 建议 14 小时（理论学习 7 小时，练习 7 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《微积分》第十四章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 2.中国大学 MOOC《微积分》（铜陵学院）第十四章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 3.《微积分》（同济大学，第七版）第十四章 | •定积分的定义较为抽象，需要结合具体例子 •定积分的几何意义需要结合图形理解 •定积分的基本性质需要系统掌握 | 1.应用定积分的定义计算简单函数的定积分 2.应用定积分的性质比较积分大小 3.应用定积分的性质估计积分值 4.应用定积分的概念和性质解决实际问题（如曲边梯形面积、变速直线运动路程等） | •笔试：定积分的概念和性质 •应用题：利用定积分的概念和性质解决实际问题 |
15 | 微积分基本定理 | •理解变上限积分函数的概念和性质 •掌握牛顿 - 莱布尼茨公式的内容和应用条件 •理解微积分基本定理的内容和意义 •能够应用牛顿 - 莱布尼茨公式计算定积分 •能够应用微积分基本定理解决实际问题 | 建议 12 小时（理论学习 6 小时，练习 6 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《微积分》第十五章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 2.中国大学 MOOC《微积分》（铜陵学院）第十五章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 3.《微积分》（同济大学，第七版）第十五章 | •变上限积分函数的导数计算需要系统掌握 •牛顿 - 莱布尼茨公式的应用条件需要严格遵守 •微积分基本定理的理解需要结合定积分和不定积分的关系 | 1.计算变上限积分函数的导数 2.应用牛顿 - 莱布尼茨公式计算定积分 3.应用微积分基本定理解决实际问题（如位移计算、平均值计算等） 4.综合应用变上限积分函数和牛顿 - 莱布尼茨公式解决问题 | •笔试：微积分基本定理 •应用题：利用微积分基本定理解决实际问题 |
16 | 定积分的换元积分法和分部积分法 | •理解定积分换元积分法的原理和步骤 •掌握定积分分部积分法的原理和步骤 •能够应用定积分换元积分法计算复杂函数的定积分 •能够应用定积分分部积分法计算复杂函数的定积分 •能够综合应用定积分换元积分法和分部积分法解决实际问题 | 建议 14 小时（理论学习 7 小时，练习 7 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《微积分》第十六章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 2.中国大学 MOOC《微积分》（铜陵学院）第十六章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 3.《微积分》（同济大学，第七版）第十六章 | •定积分换元积分法需要注意积分限的变化 •定积分分部积分法需要正确选择 u 和 dv •定积分换元积分法和分部积分法的综合应用需要灵活处理 | 1.应用定积分换元积分法计算复杂函数的定积分 2.应用定积分分部积分法计算复杂函数的定积分 3.综合应用定积分换元积分法和分部积分法解决复杂问题 4.应用定积分换元积分法和分部积分法解决实际问题（如旋转体体积、功的计算等） | •笔试：定积分的换元积分法和分部积分法 •应用题：利用定积分换元积分法和分部积分法解决实际问题 |
定积分的应用 | 17 | 定积分在几何中的应用 | •理解微元法的基本思想和步骤 •掌握平面图形面积的计算方法（直角坐标系、极坐标系） •掌握旋转体体积的计算方法（圆盘法、圆柱壳法） •掌握平面曲线弧长的计算方法 •能够应用定积分计算平面图形面积、旋转体体积和平面曲线弧长 | 建议 14 小时（理论学习 7 小时，练习 7 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《微积分》第十七章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 2.中国大学 MOOC《微积分》（铜陵学院）第十七章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 3.《微积分》（同济大学，第七版）第十七章 | •微元法的理解需要结合具体例子 •不同几何问题的积分表达式需要正确建立 •旋转体体积的计算方法需要系统掌握 | 1.计算平面图形的面积（直角坐标系和极坐标系） 2.计算旋转体的体积（圆盘法和圆柱壳法） 3.计算平面曲线的弧长 4.应用定积分解决复杂几何问题（如曲面面积、立体体积等） | •笔试：定积分在几何中的应用 •应用题：利用定积分计算平面图形面积、旋转体体积和平面曲线弧长 |
18 | 定积分在物理中的应用 | •理解定积分在物理中的应用原理 •掌握变力沿直线做功的计算方法 •掌握液体静压力的计算方法 •掌握引力的计算方法 •能够应用定积分解决物理中的实际问题（如变力做功、液体静压力、引力等） | 建议 12 小时（理论学习 6 小时，练习 6 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《微积分》第十八章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 2.中国大学 MOOC《微积分》（铜陵学院）第十八章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 3.《微积分》（同济大学，第七版）第十八章 | •物理问题的数学建模需要正确应用物理原理 •微元法在物理问题中的应用需要正确建立积分表达式 •不同物理量的积分计算需要系统掌握 | 1.计算变力沿直线做功 2.计算液体对平面的静压力 3.计算两个物体之间的引力 4.应用定积分解决其他物理问题（如转动惯量、质心计算等） | •笔试：定积分在物理中的应用 •应用题：利用定积分解决物理中的实际问题 |
多元函数微积分 | 19 | 空间解析几何基础 | •理解空间直角坐标系的概念 •掌握空间两点间距离公式 •理解向量的概念和基本运算 •掌握向量的点积和叉积运算 •掌握平面和直线的方程 •能够应用空间解析几何知识解决实际问题 | 建议 12 小时（理论学习 6 小时，练习 6 小时） | 1.中国大学 MOOC《微积分 A（2）》（华中农业大学） https://www.icourse163.org/spoc/course/HZAU-1471780165 2.国家高等教育智慧教育平台《微积分》第十九章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 3.《微积分》（同济大学，第七版）第十九章 | •空间直角坐标系的理解需要结合三维图形 •向量的点积和叉积的几何意义需要深入理解 •平面和直线方程的建立需要系统掌握 | 1.计算空间两点间距离 2.计算向量的点积和叉积 3.求平面和直线的方程 4.应用空间解析几何知识解决实际问题（如空间几何问题、向量分析等） | •笔试：空间解析几何基础 •应用题：利用空间解析几何知识解决实际问题 |
20 | 多元函数的概念与极限 | •理解多元函数的概念和定义域 •掌握二元函数的几何意义 •理解多元函数的极限概念 •理解多元函数连续性的概念 •能够应用多元函数的概念和性质解决实际问题 | 建议 12 小时（理论学习 6 小时，练习 6 小时） | 1.中国大学 MOOC《微积分 A（2）》（华中农业大学） https://www.icourse163.org/spoc/course/HZAU-1471780165 2.国家高等教育智慧教育平台《微积分》第二十章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 3.《微积分》（同济大学，第七版）第二十章 | •多元函数的极限概念较为抽象，需要结合具体例子 •多元函数连续性的判定需要系统掌握 •多元函数与一元函数的异同需要对比理解 | 1.确定多元函数的定义域 2.绘制二元函数的图形 3.计算简单多元函数的极限 4.判断多元函数的连续性 | •笔试：多元函数的概念和极限 •应用题：利用多元函数的概念和性质解决实际问题 |
21 | 偏导数与全微分 | •理解偏导数的概念和定义 •掌握偏导数的计算方法 •理解全微分的概念和定义 •掌握全微分存在的必要条件和充分条件 •能够应用偏导数和全微分解决实际问题 | 建议 14 小时（理论学习 7 小时，练习 7 小时） | 1.中国大学 MOOC《微积分 A（2）》（华中农业大学） https://www.icourse163.org/spoc/course/HZAU-1471780165 2.国家高等教育智慧教育平台《微积分》第二十一章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 3.《微积分》（同济大学，第七版）第二十一章 | •偏导数的定义需要深入理解 •全微分的概念容易与一元函数微分混淆 •全微分存在的条件需要系统掌握 | 1.计算多元函数的偏导数 2.计算多元函数的全微分 3.应用偏导数和全微分解决实际问题（如误差分析、近似计算等） 4.判断多元函数的可微性 | •笔试：偏导数和全微分的概念和计算 •应用题：利用偏导数和全微分解决实际问题 |
22 | 多元复合函数的求导法则 | •理解多元复合函数的概念 •掌握多元复合函数的求导法则（链式法则） •掌握隐函数的求导法则 •掌握由方程组确定的隐函数的求导法则 •能够应用多元复合函数的求导法则计算复杂函数的偏导数 | 建议 14 小时（理论学习 7 小时，练习 7 小时） | 1.中国大学 MOOC《微积分 A（2）》（华中农业大学） https://www.icourse163.org/spoc/course/HZAU-1471780165 2.国家高等教育智慧教育平台《微积分》第二十二章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 3.《微积分》（同济大学，第七版）第二十二章 | •多元复合函数的链式法则需要系统掌握 •隐函数的求导法则需要正确应用 •由方程组确定的隐函数的求导需要系统掌握 | 1.计算多元复合函数的偏导数 2.计算隐函数的导数 3.计算由方程组确定的隐函数的导数 4.应用多元复合函数的求导法则解决实际问题（如相关变化率问题等） | •笔试：多元复合函数的求导法则 •应用题：利用多元复合函数的求导法则解决实际问题 |
23 | 多元函数的极值与最值 | •理解多元函数极值的概念 •掌握多元函数极值的必要条件和充分条件 •掌握多元函数条件极值的概念和求解方法（拉格朗日乘数法） •掌握多元函数最大值和最小值的求解方法 •能够应用多元函数的极值和最值解决实际优化问题 | 建议 14 小时（理论学习 7 小时，练习 7 小时） | 1.中国大学 MOOC《微积分 A（2）》（华中农业大学） https://www.icourse163.org/spoc/course/HZAU-1471780165 2.国家高等教育智慧教育平台《微积分》第二十三章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 3.《微积分》（同济大学，第七版）第二十三章 | •多元函数极值的充分条件需要系统掌握 •拉格朗日乘数法的应用需要正确建立目标函数和约束条件 •实际优化问题的建模需要正确设定目标函数和约束条件 | 1.求多元函数的极值 2.求多元函数的条件极值（应用拉格朗日乘数法） 3.求多元函数的最大值和最小值 4.应用多元函数的极值和最值解决实际优化问题（如最大利润、最小成本等） | •笔试：多元函数的极值与最值 •应用题：利用多元函数的极值与最值解决实际优化问题 |
多元函数积分学 | 24 | 二重积分的概念与性质 | •理解二重积分的概念和定义 •掌握二重积分的几何意义和物理意义 •掌握二重积分的基本性质 •理解二重积分与定积分的关系 •能够应用二重积分的概念和性质解决实际问题 | 建议 14 小时（理论学习 7 小时，练习 7 小时） | 1.中国大学 MOOC《微积分 A（2）》（华中农业大学） https://www.icourse163.org/spoc/course/HZAU-1471780165 2.国家高等教育智慧教育平台《微积分》第二十四章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 3.《微积分》（同济大学，第七版）第二十四章 | •二重积分的定义较为抽象，需要结合具体例子 •二重积分的几何意义需要结合三维图形理解 •二重积分的基本性质需要系统掌握 | 1.应用二重积分的定义计算简单函数的二重积分 2.应用二重积分的性质比较积分大小 3.应用二重积分的性质估计积分值 4.应用二重积分的概念和性质解决实际问题（如曲顶柱体体积、质量计算等） | •笔试：二重积分的概念和性质 •应用题：利用二重积分的概念和性质解决实际问题 |
25 | 二重积分的计算方法 | •掌握在直角坐标系下计算二重积分的方法（累次积分法） •掌握在极坐标系下计算二重积分的方法 •能够根据积分区域和被积函数的特点选择合适的坐标系 •能够应用二重积分计算平面图形的面积和立体的体积 •能够应用二重积分解决实际问题 | 建议 16 小时（理论学习 8 小时，练习 8 小时） | 1.中国大学 MOOC《微积分 A（2）》（华中农业大学） https://www.icourse163.org/spoc/course/HZAU-1471780165 2.国家高等教育智慧教育平台《微积分》第二十五章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 3.《微积分》（同济大学，第七版）第二十五章 | •积分区域的确定需要结合图形理解 •直角坐标系和极坐标系下的积分转换需要系统掌握 •积分顺序的选择对计算复杂度的影响需要注意 | 1.在直角坐标系下计算二重积分 2.在极坐标系下计算二重积分 3.应用二重积分计算平面图形的面积和立体的体积 4.综合应用直角坐标系和极坐标系计算二重积分 | •笔试：二重积分的计算方法 •应用题：利用二重积分的计算方法解决实际问题 |
26 | 三重积分与曲线积分 | •理解三重积分的概念和定义 •掌握三重积分的计算方法（直角坐标系、柱坐标系、球坐标系） •理解曲线积分的概念和分类（第一类曲线积分和第二类曲线积分） •掌握曲线积分的计算方法 •能够应用三重积分和曲线积分解决实际问题 | 建议 16 小时（理论学习 8 小时，练习 8 小时） | 1.中国大学 MOOC《微积分 A（2）》（华中农业大学） https://www.icourse163.org/spoc/course/HZAU-1471780165 2.国家高等教育智慧教育平台《微积分》第二十六章 https://higher.smartedu.cn/course/671ad55c16d8a05eedca459a 3.《微积分》（同济大学，第七版）第二十六章 | •三重积分的计算需要系统掌握不同坐标系下的积分方法 •曲线积分的概念和计算方法需要系统掌握 •不同类型曲线积分的物理意义需要深入理解 | 1.在直角坐标系下计算三重积分 2.在柱坐标系和球坐标系下计算三重积分 3.计算第一类和第二类曲线积分 4.应用三重积分和曲线积分解决实际问题（如质量计算、功的计算等） | •笔试：三重积分和曲线积分的概念和计算 •应用题：利用三重积分和曲线积分解决实际问题 |
