人工智能数学基础-离散数学 补习课程表
人工智能数学基础：离散数学
一、课程概述
离散数学是人工智能领域的核心数学基础，为处理离散结构和关系提供了理论框架。在机器学习、算法设计、数据结构、知识表示等人工智能关键领域中，离散数学扮演着不可替代的角色。对于希望在人工智能领域有所建树的工程师而言，扎实的离散数学基础是必不可少的。
本课程表旨在帮助有工作经验但基础薄弱的学习者系统掌握离散数学知识，从基础概念到高级应用，结合人工智能实际需要，构建完整的知识体系。通过循序渐进的学习，学习者将能够理解和应用离散数学的基本理论与方法，为进一步学习机器学习、深度学习等 AI 核心技术打下坚实的数学基础。
1.1 学习目标
通过本课程的学习，你将能够：
理解离散数学的基本概念和理论框架，掌握处理离散结构的描述工具和方法
掌握数理逻辑的基本原理，包括命题逻辑和谓词逻辑，及其在知识表示和推理中的应用
理解集合论、关系和函数的基本概念，掌握其在数据建模和算法设计中的应用
掌握图论的基本概念和算法，理解其在路径搜索、网络分析和图神经网络中的应用
理解组合数学的基本原理，掌握计数方法和组合优化技术
掌握代数结构的基本概念，理解其在深度学习和张量运算中的应用
能够将离散数学知识应用于人工智能领域的实际问题中
1.2 学习路径说明
本课程表按照从易到难、知识依赖关系设计，共分为七个学习模块，每个模块包含若干知识点。学习时应严格按照顺序进行，前一个模块是后一个模块的基础。每个知识点都包含学习要求、学习时长建议、学习资源、难点总结、课后练习和过关考试，确保全面掌握。
1.3 学习资源说明
本课程表推荐的学习资源包括：
国内高校优质 MOOC 课程
国际知名大学公开课
经典教材及配套辅导书
人工智能领域离散数学应用案例解析
数学软件使用教程（如 Python 科学计算库）
二、学习建议
2.1 学习方法建议
理论联系实际：离散数学的概念较为抽象，学习时应结合具体的人工智能应用场景，如图像处理、自然语言处理、机器学习等，加深对理论知识的理解。
多做练习：离散数学是一门需要大量练习的学科，应通过大量的习题巩固所学知识，特别是逻辑推理、图论算法、组合计数等方面的题目。
使用数学软件：学习过程中应结合 Python 等数学软件进行计算和验证，提高解决实际问题的能力。推荐使用的库包括 NumPy（矩阵运算）、SciPy（科学计算）、NetworkX（图论）、Matplotlib（可视化）等。
理解概念本质：避免死记硬背公式和定理，应深入理解概念的本质和内在联系，如逻辑的表示与推理、图的结构与算法、代数结构的性质等。
定期总结：定期对所学知识进行总结，建立知识框架，梳理各知识点之间的联系，形成完整的知识体系。
2.2 学习工具推荐
数学软件：强烈建议一边学习理论，一边用编程工具练习！！！
Python 科学计算库：NumPy（矩阵运算）、SciPy（统计模块）、Matplotlib（可视化）、NetworkX（图论）
机器学习库：Scikit-learn（包含统计模型和方法）
深度学习库：TensorFlow、PyTorch（包含代数运算和自动微分）
学习平台：
国家高等教育智慧教育平台：提供大量优质的离散数学课程
中国大学 MOOC：汇聚国内多所高校的离散数学相关课程
Coursera、edX：提供国际知名大学的离散数学和人工智能课程
辅助学习工具：
数学公式编辑器：帮助编写和理解复杂的数学公式
思维导图工具：帮助梳理知识结构和概念关系
在线计算工具：如 Wolfram Alpha、RapidTables 等
2.3 学习进度管理
制定学习计划：根据课程表的安排，制定详细的学习计划，合理分配每天的学习时间，确保按时完成学习目标。
阶段性目标：将整个学习过程分为若干阶段，每个阶段设定明确的学习目标，如完成一个模块的学习并通过相应的过关考试。
学习记录：记录每天的学习内容、遇到的问题和解决方法，便于复习和总结。
定期复习：定期复习已学内容，强化记忆，避免遗忘，特别是逻辑推理、图论算法、组合计数等核心内容。
模拟考试：在每个模块学习结束后，进行模拟考试，检验学习效果，及时发现和解决问题。
三、鼓励
本课程表系统地梳理了人工智能领域所需的离散数学知识，从基础概念到高级应用，结合实际案例，帮助学习者建立扎实的离散数学基础。通过按照本课程表的顺序学习，你将能够掌握离散数学的核心概念和方法，并能够应用这些知识解决人工智能领域的实际问题。
离散数学是人工智能的基石，也是提升逻辑思维和问题解决能力的重要工具。希望本课程表能够帮助你克服学习困难，建立对离散数学的兴趣和信心，为未来的人工智能学习和研究打下坚实的数学基础。
记住，学习数学需要耐心和坚持，遇到困难时不要气馁，多思考、多练习、多交流，相信你一定能够掌握这门重要的数学工具！
若过程中有任何疑问，可关注公众号（iLearnAI）进专家群交流，不要放弃！
四、课程表
详细的学习课程如下：
大类 | 序号 | 知识点 | 学习要求 | 学习时长建议 | 学习资源 | 难点总结 | 课后练习 | 过关考试 |
数理逻辑基础 | 1 | 命题逻辑基本概念 | •理解命题的概念及其表示方法 •掌握命题联结词（否定、合取、析取、蕴含、等价）的定义和运算规则 •理解命题公式的概念和分类（重言式、矛盾式、可满足式） •掌握命题公式的真值表构造方法 •能够应用命题逻辑进行简单的逻辑推理 | 建议 10 小时（理论学习 5 小时，练习 5 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《离散数学》第一章 https://higher.smartedu.cn/course/678842c7225d72705e643a6f 2.中国大学 MOOC《离散数学》（上海交通大学）第一章 https://www.icourse163.org/course/SJTU-146021 3.《离散数学及其应用》（第七版）Kenneth H. Rosen 著，机械工业出版社 | •蕴含联结词的理解较为困难，需深入理解其逻辑含义 •命题公式的分类需要通过大量实例巩固 •命题逻辑的推理规则需要系统掌握 | 1.构造命题公式的真值表并判断其类型 2.将自然语言命题符号化 3.应用命题逻辑进行简单推理 | •笔试：命题逻辑基本概念和真值表构造 •应用题：利用命题逻辑解决简单的逻辑推理问题 |
2 | 命题逻辑等值演算与推理 | •理解命题逻辑等值式的概念和性质 •掌握基本等值式（交换律、结合律、分配律等）及其应用 •理解范式的概念（析取范式、合取范式、主析取范式、主合取范式） •掌握求范式的方法 •理解命题逻辑推理的概念和规则 •能够应用自然推理系统进行命题逻辑推理 | 建议 12 小时（理论学习 6 小时，练习 6 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《离散数学》第二章 https://higher.smartedu.cn/course/678842c7225d72705e643a6f 2.中国大学 MOOC《离散数学》（上海交通大学）第二章 https://www.icourse163.org/course/SJTU-146021 3.《离散数学》（屈婉玲等著，高等教育出版社） | •范式的求解过程较为复杂，需要熟练掌握基本等值式 •主析取范式和主合取范式的求解需要系统的方法 •自然推理系统的应用需要大量练习 | 1.应用等值式证明命题公式的等值关系 2.求命题公式的主析取范式和主合取范式 3.应用自然推理系统证明推理的有效性 | •笔试：命题逻辑等值演算和推理规则 •应用题：利用命题逻辑推理解决实际问题 |
3 | 谓词逻辑基本概念 | •理解个体词、谓词和量词的概念 •掌握谓词公式的定义和解释 •理解谓词公式的分类（永真式、永假式、可满足式） •掌握谓词公式的真值表构造方法（有限个体域） •能够将自然语言命题符号化为谓词公式 | 建议 12 小时（理论学习 6 小时，练习 6 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《离散数学》第三章 https://higher.smartedu.cn/course/678842c7225d72705e643a6f 2.中国大学 MOOC《离散数学》（上海交通大学）第三章 https://www.icourse163.org/course/SJTU-146021 3.《离散数学及其应用》（第七版）Kenneth H. Rosen 著，机械工业出版社 | •量词的理解和使用较为困难，需要结合具体例子 •谓词公式的解释需要考虑个体域和谓词的具体含义 •多重量词的顺序会影响命题的含义，需特别注意 | 1.将自然语言命题符号化为谓词公式 2.构造谓词公式的真值表（有限个体域） 3.判断谓词公式的类型 | •笔试：谓词逻辑基本概念和符号化 •应用题：利用谓词逻辑描述实际问题 |
4 | 谓词逻辑等值演算与推理 | •理解谓词逻辑等值式的概念和性质 •掌握基本等值式（量词否定等值式、量词辖域收缩与扩张等值式等） •理解前束范式的概念和求解方法 •掌握谓词逻辑推理的规则（全称量词消去、全称量词引入、存在量词消去、存在量词引入） •能够应用谓词逻辑进行推理 | 建议 14 小时（理论学习 7 小时，练习 7 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《离散数学》第四章 https://higher.smartedu.cn/course/678842c7225d72705e643a6f 2.中国大学 MOOC《离散数学》（上海交通大学）第四章 https://www.icourse163.org/course/SJTU-146021 3.《离散数学》（屈婉玲等著，高等教育出版社） | •量词的等值式较为复杂，需要深入理解 •前束范式的求解需要综合运用量词等值式 •谓词逻辑推理的规则应用需要大量练习 | 1.应用谓词逻辑等值式证明公式的等值关系 2.求谓词公式的前束范式 3.应用谓词逻辑推理规则证明推理的有效性 | •笔试：谓词逻辑等值演算和推理规则 •应用题：利用谓词逻辑解决实际推理问题 |
集合论基础 | 5 | 集合的基本概念与运算 | •理解集合的概念和表示方法 •掌握集合间的关系（包含、相等、真包含） •掌握集合的基本运算（并、交、差、补、对称差） •理解集合的文氏图表示方法 •能够应用集合运算解决实际问题 | 建议 10 小时（理论学习 5 小时，练习 5 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《离散数学》第五章 https://higher.smartedu.cn/course/678842c7225d72705e643a6f 2.中国大学 MOOC《离散数学》（上海交通大学）第五章 https://www.icourse163.org/course/SJTU-146021 3.《离散数学及其应用》（第七版）Kenneth H. Rosen 著，机械工业出版社 | •集合的抽象概念需要结合具体例子理解 •集合运算的优先级和结合律需要注意 •集合的补运算需要明确全集的概念 | 1.证明集合恒等式 2.计算集合的基本运算 3.应用集合运算解决实际问题（如容斥原理应用） | •笔试：集合的基本概念和运算 •应用题：利用集合运算解决实际计数问题 |
6 | 关系的基本概念与运算 | •理解有序对和笛卡尔积的概念 •掌握二元关系的定义和表示方法（集合表示、关系矩阵、关系图） •理解关系的定义域、值域和域的概念 •掌握关系的基本运算（逆关系、复合关系、关系的幂） •能够应用关系运算解决实际问题 | 建议 12 小时（理论学习 6 小时，练习 6 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《离散数学》第六章 https://higher.smartedu.cn/course/678842c7225d72705e643a6f 2.中国大学 MOOC《离散数学》（上海交通大学）第六章 https://www.icourse163.org/course/SJTU-146021 3.《离散数学》（屈婉玲等著，高等教育出版社） | •笛卡尔积的概念较为抽象，需要结合具体例子 •关系的复合运算需要正确理解运算顺序 •关系矩阵和关系图的表示方法需要熟练掌握 | 1.计算关系的逆关系、复合关系和幂 2.用关系矩阵和关系图表示关系 3.应用关系运算解决实际问题 | •笔试：关系的基本概念和运算 •应用题：利用关系运算描述实际问题 |
7 | 关系的性质与闭包 | •理解关系的性质（自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性） •掌握判断关系性质的方法（定义法、关系矩阵法、关系图法） •理解关系闭包的概念（自反闭包、对称闭包、传递闭包） •掌握求关系闭包的方法（集合运算、Warshall 算法） •能够应用关系的性质和闭包解决实际问题 | 建议 14 小时（理论学习 7 小时，练习 7 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《离散数学》第七章 https://higher.smartedu.cn/course/678842c7225d72705e643a6f 2.中国大学 MOOC《离散数学》（上海交通大学）第七章 https://www.icourse163.org/course/SJTU-146021 3.《离散数学及其应用》（第七版）Kenneth H. Rosen 著，机械工业出版社 | •关系的性质容易混淆，需通过大量实例区分 •传递闭包的计算较为复杂，特别是 Warshall 算法的理解 •关系的性质和闭包的关系需要深入理解 | 1.判断给定关系的性质 2.计算关系的闭包 3.应用关系的性质和闭包解决实际问题 | •笔试：关系的性质和闭包 •应用题：利用关系的性质和闭包分析实际问题 |
8 | 等价关系与偏序关系 | •理解等价关系的概念和性质 •掌握等价类和商集的概念 •理解集合的划分与等价关系的关系 •理解偏序关系的概念和性质 •掌握哈斯图的画法和应用 •能够应用等价关系和偏序关系解决实际问题 | 建议 14 小时（理论学习 7 小时，练习 7 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《离散数学》第八章 https://higher.smartedu.cn/course/678842c7225d72705e643a6f 2.中国大学 MOOC《离散数学》（上海交通大学）第八章 https://www.icourse163.org/course/SJTU-146021 3.《离散数学》（屈婉玲等著，高等教育出版社） | •等价关系和划分的一一对应关系需要深入理解 •偏序关系的哈斯图绘制需要熟练掌握 •极大元、极小元、最大元、最小元等概念容易混淆 | 1.判断给定关系是否为等价关系或偏序关系 2.画出偏序关系的哈斯图并分析其性质 3.应用等价关系和偏序关系解决实际问题 | •笔试：等价关系和偏序关系的基本概念和性质 •应用题：利用等价关系和偏序关系分析实际问题 |
函数与代数结构 | 9 | 函数的基本概念与性质 | •理解函数的概念和定义 •掌握函数的定义域、值域和陪域的概念 •理解函数的性质（单射、满射、双射） •掌握函数的复合和逆函数的概念和性质 •能够应用函数解决实际问题 | 建议 12 小时（理论学习 6 小时，练习 6 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《离散数学》第九章 https://higher.smartedu.cn/course/678842c7225d72705e643a6f 2.中国大学 MOOC《离散数学》（上海交通大学）第九章 https://www.icourse163.org/course/SJTU-146021 3.《离散数学及其应用》（第七版）Kenneth H. Rosen 著，机械工业出版社 | •函数的复合运算需要正确理解运算顺序 •逆函数的存在条件需要深入理解 •单射、满射和双射的证明方法需要系统掌握 | 1.判断函数的性质（单射、满射、双射） 2.计算函数的复合和逆函数 3.应用函数解决实际问题 | •笔试：函数的基本概念和性质 •应用题：利用函数描述实际问题 |
10 | 代数系统的基本概念 | •理解代数系统的概念和定义 •掌握二元运算的定义和性质（交换律、结合律、分配律等） •理解代数系统的同态和同构的概念 •掌握半群、独异点和群的定义和性质 •能够应用代数系统的基本概念分析实际问题 | 建议 14 小时（理论学习 7 小时，练习 7 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《离散数学》第十章 https://higher.smartedu.cn/course/678842c7225d72705e643a6f 2.中国大学 MOOC《离散数学》（上海交通大学）第十章 https://www.icourse163.org/course/SJTU-146021 3.《离散数学》（屈婉玲等著，高等教育出版社） | •代数系统的抽象概念需要结合具体例子理解 •同态和同构的概念较为抽象，需通过实例区分 •群的定义和性质需要系统掌握 | 1.判断二元运算的性质 2.证明代数系统的同态和同构 3.应用代数系统的基本概念分析实际问题 | •笔试：代数系统的基本概念和性质 •应用题：利用代数系统描述实际问题 |
11 | 群与环的基本概念 | •理解群的定义和性质（群、子群、交换群） •掌握群的阶和元素的阶的概念 •理解环的定义和性质（环、交换环、含幺环） •掌握环的零因子和可逆元的概念 •能够应用群和环的基本概念分析实际问题 | 建议 14 小时（理论学习 7 小时，练习 7 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《离散数学》第十一章 https://higher.smartedu.cn/course/678842c7225d72705e643a6f 2.中国大学 MOOC《离散数学》（上海交通大学）第十一章 https://www.icourse163.org/course/SJTU-146021 3.《离散数学及其应用》（第七版）Kenneth H. Rosen 著，机械工业出版社 | •群的定义和性质较为抽象，需要结合具体例子 •子群的判定定理需要熟练掌握 •环的定义和性质需要与群进行对比理解 | 1.判断给定代数系统是否为群或环 2.计算群的阶和元素的阶 3.应用群和环的基本概念分析实际问题 | •笔试：群和环的基本概念和性质 •应用题：利用群和环的性质分析实际问题 |
12 | 格与布尔代数 | •理解格的定义和性质（偏序格、代数格） •掌握格的基本运算（并、交）和性质 •理解分配格、有补格的概念和性质 •掌握布尔代数的定义和性质 •能够应用格和布尔代数分析实际问题 | 建议 12 小时（理论学习 6 小时，练习 6 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《离散数学》第十二章 https://higher.smartedu.cn/course/678842c7225d72705e643a6f 2.中国大学 MOOC《离散数学》（上海交通大学）第十二章 https://www.icourse163.org/course/SJTU-146021 3.《离散数学》（屈婉玲等著，高等教育出版社） | •格的定义和性质较为抽象，需要结合具体例子 •分配格和有补格的判定需要熟练掌握 •布尔代数的性质需要系统掌握 | 1.判断给定代数系统是否为格 2.判断格是否为分配格或有补格 3.应用格和布尔代数分析实际问题 | •笔试：格和布尔代数的基本概念和性质 •应用题：利用格和布尔代数分析实际问题 |
图论基础 | 13 | 图的基本概念 | •理解图的定义和表示方法（无向图、有向图、混合图） •掌握图的基本术语（顶点、边、关联、邻接、度等） •理解图的同构概念和判定方法 •掌握图的矩阵表示（邻接矩阵、关联矩阵） •能够应用图的基本概念描述实际问题 | 建议 14 小时（理论学习 7 小时，练习 7 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《离散数学》第十三章 https://higher.smartedu.cn/course/678842c7225d72705e643a6f 2.中国大学 MOOC《离散数学》（上海交通大学）第十三章 https://www.icourse163.org/course/SJTU-146021 3.《离散数学及其应用》（第七版）Kenneth H. Rosen 著，机械工业出版社 | 点总结： •图的同构判定较为困难，需要通过大量实例掌握 •图的矩阵表示需要熟练掌握 •图的应用需要结合实际问题建模 | 1.画出给定图的图形表示并计算顶点的度 2.写出图的邻接矩阵和关联矩阵 3.应用图的基本概念描述实际问题（如社交网络、交通网络等） | •笔试：图的基本概念和表示方法 •应用题：利用图的概念描述实际问题 |
14 | 图的连通性与遍历 | •理解通路、回路、简单通路、简单回路、初级通路、初级回路的概念 •掌握无向图和有向图的连通性概念（连通图、强连通图、单向连通图、弱连通图） •掌握图的连通分支和强连通分量的概念 •掌握图的遍历方法（深度优先搜索、广度优先搜索） •能够应用图的连通性和遍历算法解决实际问题 | 建议 14 小时（理论学习 7 小时，练习 7 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《离散数学》第十四章 https://higher.smartedu.cn/course/678842c7225d72705e643a6f 2.中国大学 MOOC《离散数学》（上海交通大学）第十四章 https://www.icourse163.org/course/SJTU-146021 3.《离散数学》（屈婉玲等著，高等教育出版社） | •各种通路和回路的概念容易混淆，需通过实例区分 •有向图的连通性概念需要系统掌握 •图的遍历算法需要结合具体实现理解 | 1.判断图的连通性类型 2.应用深度优先搜索和广度优先搜索遍历图 3.应用图的连通性和遍历算法解决实际问题（如路径规划、网络分析等） | •笔试：图的连通性和遍历算法 •应用题：利用图的连通性和遍历算法解决实际问题 |
15 | 图的矩阵表示与应用 | •理解邻接矩阵、可达矩阵、关联矩阵的概念和性质 •掌握利用邻接矩阵计算通路和回路数的方法 •理解图的最短路径问题和求解方法（Dijkstra 算法、Floyd 算法） •掌握关键路径问题的求解方法 •能够应用图的矩阵表示和算法解决实际问题 | 建议 16 小时（理论学习 8 小时，练习 8 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《离散数学》第十五章 https://higher.smartedu.cn/course/678842c7225d72705e643a6f 2.中国大学 MOOC《离散数学》（上海交通大学）第十五章 https://www.icourse163.org/course/SJTU-146021 3.《离散数学及其应用》（第七版）Kenneth H. Rosen 著，机械工业出版社 | •邻接矩阵的幂次计算通路数需要深入理解 •Dijkstra 算法和 Floyd 算法的实现和应用需要系统掌握 •关键路径问题的求解需要结合具体实例 | 1.应用邻接矩阵计算图中的通路数和回路数 2.应用 Dijkstra 算法和 Floyd 算法求解最短路径 3.应用关键路径算法解决实际项目管理问题 | •笔试：图的矩阵表示和算法 •应用题：利用图的矩阵表示和算法解决实际问题 |
16 | 特殊图及其应用 | •理解欧拉图和哈密顿图的概念和性质 •掌握欧拉图和哈密顿图的判定方法 •理解平面图的概念和性质 •掌握平面图的欧拉公式和库拉托夫斯基定理 •理解二部图的概念和性质 •能够应用特殊图的概念和性质解决实际问题 | 建议 16 小时（理论学习 8 小时，练习 8 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《离散数学》第十六章 https://higher.smartedu.cn/course/678842c7225d72705e643a6f 2.中国大学 MOOC《离散数学》（上海交通大学）第十六章 https://www.icourse163.org/course/SJTU-146021 3.《离散数学》（屈婉玲等著，高等教育出版社） | •欧拉图和哈密顿图的判定定理需要熟练掌握 •平面图的欧拉公式和库拉托夫斯基定理较为抽象 •二部图的匹配问题需要结合具体实例理解 | 1.判断图是否为欧拉图或哈密顿图 2.判断图是否为平面图并应用欧拉公式 3.应用二部图的匹配算法解决实际问题（如任务分配） | •笔试：特殊图的概念和性质 •应用题：利用特殊图的性质解决实际问题 |
组合数学基础 | 17 | 排列组合与计数原理 | •理解基本计数原理（加法原理、乘法原理） •掌握排列数和组合数的计算方法 •理解排列和组合的区别与联系 •掌握多重集的排列和组合计算方法 •能够应用排列组合解决实际计数问题 | 建议 14 小时（理论学习 7 小时，练习 7 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《离散数学》第十七章 https://higher.smartedu.cn/course/678842c7225d72705e643a6f 2.中国大学 MOOC《离散数学》（上海交通大学）第十七章 https://www.icourse163.org/course/SJTU-146021 3.《离散数学及其应用》（第七版）Kenneth H. Rosen 著，机械工业出版社 | •排列和组合的应用场景容易混淆，需通过实例区分 •多重集的排列和组合计算需要系统掌握 •实际问题的建模需要正确应用计数原理 | 1.计算排列数和组合数 2.应用排列组合解决实际计数问题（如密码设置、分配问题等） 3.解决包含限制条件的排列组合问题 | •笔试：排列组合的基本概念和计算 •应用题：利用排列组合解决实际计数问题 |
18 | 容斥原理与鸽巢原理 | •理解容斥原理的概念和公式 •掌握容斥原理在计数问题中的应用 •理解鸽巢原理的概念和形式 •掌握鸽巢原理在存在性问题中的应用 •能够应用容斥原理和鸽巢原理解决实际问题 | 建议 12 小时（理论学习 6 小时，练习 6 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《离散数学》第十八章 https://higher.smartedu.cn/course/678842c7225d72705e643a6f 2.中国大学 MOOC《离散数学》（上海交通大学）第十八章 https://www.icourse163.org/course/SJTU-146021 3.《离散数学》（屈婉玲等著，高等教育出版社） | •容斥原理的公式应用需要正确理解集合的交并关系 •鸽巢原理的应用需要巧妙构造鸽巢和鸽子 •实际问题的建模需要正确应用原理 | 1.应用容斥原理计算符合条件的元素个数 2.应用鸽巢原理证明存在性问题 3.应用容斥原理和鸽巢原理解决实际问题 | •笔试：容斥原理和鸽巢原理的基本概念和应用 •应用题：利用容斥原理和鸽巢原理解决实际问题 |
19 | 递推关系与生成函数 | •理解递推关系的概念和分类 •掌握常系数线性齐次递推关系的求解方法 •理解生成函数的概念和性质 •掌握生成函数在组合计数中的应用 •能够应用递推关系和生成函数解决实际问题 | 建议 16 小时（理论学习 8 小时，练习 8 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《离散数学》第十九章 https://higher.smartedu.cn/course/678842c7225d72705e643a6f 2.中国大学 MOOC《离散数学》（上海交通大学）第十九章 https://www.icourse163.org/course/SJTU-146021 3.《离散数学及其应用》（第七版）Kenneth H. Rosen 著，机械工业出版社 | •常系数线性齐次递推关系的特征方程法需要系统掌握 •生成函数的构造和运算需要熟练掌握 •实际问题的建模需要正确应用递推关系和生成函数 | 1.求解常系数线性齐次递推关系 2.应用生成函数解决组合计数问题 3.应用递推关系和生成函数解决实际问题（如斐波那契数列、汉诺塔问题等） | •笔试：递推关系和生成函数的基本概念和求解方法 •应用题：利用递推关系和生成函数解决实际问题 |
数论基础 | 20 | 整除与同余 | •理解整除的概念和性质 •掌握带余除法和最大公约数的概念 •理解欧几里得算法和扩展欧几里得算法 •掌握同余的概念和性质 •能够应用整除和同余的概念解决实际问题 | 建议 14 小时（理论学习 7 小时，练习 7 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《离散数学》第二十章 https://higher.smartedu.cn/course/678842c7225d72705e643a6f 2.中国大学 MOOC《离散数学》（上海交通大学）第二十章 https://www.icourse163.org/course/SJTU-146021 3.《离散数学》（屈婉玲等著，高等教育出版社） | •欧几里得算法和扩展欧几里得算法的理解和应用需要系统掌握 •同余的性质需要结合具体例子理解 •实际问题的建模需要正确应用整除和同余的概念 | 1.应用欧几里得算法和扩展欧几里得算法求解最大公约数和线性组合 2.求解同余方程和同余方程组 3.应用整除和同余的概念解决实际问题（如密码学中的应用） | •笔试：整除和同余的基本概念和算法 •应用题：利用整除和同余的概念解决实际问题 |
21 | 数论函数与中国剩余定理 | •理解数论函数的概念（欧拉函数、莫比乌斯函数等） •掌握欧拉函数的计算方法 •理解中国剩余定理的概念和应用 •掌握中国剩余定理的求解方法 •能够应用数论函数和中国剩余定理解决实际问题 | 建议 14 小时（理论学习 7 小时，练习 7 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《离散数学》第二十一章 https://higher.smartedu.cn/course/678842c7225d72705e643a6f 2.中国大学 MOOC《离散数学》（上海交通大学）第二十一章 https://www.icourse163.org/course/SJTU-146021 3.《离散数学及其应用》（第七版）Kenneth H. Rosen 著，机械工业出版社 | •欧拉函数的计算需要理解其数论性质 •中国剩余定理的应用需要正确构造同余方程组 •实际问题的建模需要正确应用数论函数和定理 | 1.计算欧拉函数的值 2.应用中国剩余定理求解同余方程组 3.应用数论函数和中国剩余定理解决实际问题（如加密解密、日期计算等） | •笔试：数论函数和中国剩余定理的基本概念和应用 •应用题：利用数论函数和中国剩余定理解决实际问题 |
22 | 素数与原根 | •理解素数的概念和性质 •掌握素数定理和素数测试方法 •理解原根的概念和性质 •掌握原根的存在条件和求解方法 •能够应用素数和原根的概念解决实际问题 | 建议 14 小时（理论学习 7 小时，练习 7 小时） | 1.国家高等教育智慧教育平台《离散数学》第二十二章 https://higher.smartedu.cn/course/678842c7225d72705e643a6f 2.中国大学 MOOC《离散数学》（上海交通大学）第二十二章 https://www.icourse163.org/course/SJTU-146021 3.《离散数学》（屈婉玲等著，高等教育出版社） | •素数定理的理解需要结合数论知识 •素数测试方法（如 Miller-Rabin 测试）的实现需要系统掌握 •原根的存在条件和求解方法需要深入理解 | 1.应用素数测试方法判断一个数是否为素数 2.求解模素数的原根 3.应用素数和原根的概念解决实际问题（如密码学中的 RSA 算法） | •笔试：素数和原根的基本概念和性质 •应用题：利用素数和原根的概念解决实际问题 |
离散数学在人工智能中的应用 | 23 | 命题逻辑在知识表示中的应用 | •理解知识表示的基本概念和方法 •掌握命题逻辑在知识表示中的应用（事实、规则、推理） •理解知识库的概念和构建方法 •掌握命题逻辑推理机的基本原理和实现方法 •能够应用命题逻辑进行简单的知识表示和推理 | 建议 16 小时（理论学习 8 小时，练习 8 小时） | 1.《人工智能：现代方法》（第四版）Stuart Russell 和 Peter Norvig 著，清华大学出版社 2.中国大学 MOOC《人工智能原理与算法》（北京大学） https://www.icourse163.org/course/PKU-1206420809 3.人工智能中的知识表示与推理（CSDN 博客） https://blog.csdn.net/qq_34222839/article/details/147521275 | •知识表示的抽象概念需要结合具体例子理解 •知识库的构建和维护需要系统方法 •命题逻辑推理机的实现需要编程基础 | 1.使用命题逻辑表示简单的知识库 2.实现基于命题逻辑的推理机 3.应用命题逻辑进行知识表示和推理解决实际问题（如简单的专家系统） | •笔试：命题逻辑在知识表示中的应用 •应用题：利用命题逻辑构建简单的知识库并进行推理 |
24 | 图论在路径规划和网络模型中的应用 | •理解路径规划问题的基本概念和应用场景 •掌握图论在路径规划中的应用（最短路径、最优路径） •理解网络模型的概念和构建方法 •掌握网络流算法（最大流、最小割）的基本原理和应用 •能够应用图论和网络模型解决实际问题 | 建议 18 小时（理论学习 9 小时，练习 9 小时） | 1.《人工智能：现代方法》（第四版）Stuart Russell 和 Peter Norvig 著，清华大学出版社 2.中国大学 MOOC《人工智能原理与算法》（北京大学） https://www.icourse163.org/course/PKU-1206420809 3.图论在路径规划中的应用（CSDN 博客） https://blog.csdn.net/qq_34222839/article/details/147521275 | •路径规划问题的建模需要正确应用图论概念 •网络流算法的实现和优化需要系统掌握 •实际问题的建模需要结合具体应用场景 | 1.应用图论算法解决路径规划问题（如 A * 算法） 2.应用网络流算法解决最大流和最小割问题 3.应用图论和网络模型解决实际问题（如物流配送、网络设计等） | •笔试：图论在路径规划和网络模型中的应用 •应用题：利用图论和网络模型解决实际问题 |
25 | 代数结构在深度学习中的应用 | •理解代数结构在深度学习中的基础作用 •掌握张量和矩阵运算的代数结构（向量空间、矩阵代数） •理解神经网络中的代数运算（线性变换、激活函数） •掌握深度学习框架中的代数操作（自动微分、反向传播） •能够应用代数结构分析和实现简单的神经网络 | 建议 20 小时（理论学习 10 小时，练习 10 小时） | 1.《深度学习》（Ian Goodfellow 等著），人民邮电出版社 2.中国大学 MOOC《深度学习》（北京大学） https://www.icourse163.org/course/PKU-1206420809 3.代数结构在深度学习中的应用（CSDN 博客） https://blog.csdn.net/qq_34222839/article/details/147521275 | •张量运算的代数性质需要深入理解 •神经网络中的代数运算和反向传播需要结合微积分知识 •深度学习框架的使用需要编程基础 | 1.应用代数结构分析简单的神经网络模型（如感知机、多层感知机） 2.使用深度学习框架实现简单的神经网络并进行训练 3.应用代数结构分析深度学习中的优化问题 | •笔试：代数结构在深度学习中的应用 •应用题：利用代数结构分析和实现简单的神经网络 |
26 | 组合优化在机器学习中的应用 | •理解组合优化问题的基本概念和特点 •掌握机器学习中的组合优化问题（特征选择、模型选择、超参数优化） •理解启发式算法（遗传算法、粒子群优化）的基本原理和应用 •掌握组合优化问题的近似算法和局部搜索方法 •能够应用组合优化方法解决机器学习中的实际问题 | 建议 20 小时（理论学习 10 小时，练习 10 小时） | 1.《机器学习》（周志华著），清华大学出版社 2.中国大学 MOOC《机器学习》（南京大学） https://www.icourse163.org/course/NJU-1206420809 3.组合优化在机器学习中的应用（CSDN 博客） https://blog.csdn.net/qq_34222839/article/details/147521275 | •组合优化问题的 NP 难性质需要理解 •启发式算法的设计和实现需要系统方法 •组合优化在机器学习中的具体应用需要结合实际问题 | 1.应用组合优化方法解决特征选择问题 2.使用启发式算法进行模型选择和超参数优化 3.应用组合优化方法解决机器学习中的实际问题（如聚类、分类等） | •笔试：组合优化在机器学习中的应用 •应用题：利用组合优化方法解决机器学习中的实际问题 |
参考资料
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[2] 课程 - 国家高等教育智慧教育平台 https://higher.smartedu.cn/course/67edee070d6e90aa641e7ddd
[3] 离散数学-云大学堂-云南大学智慧教育平台 https://course.ynu.edu.cn/learn/course/preview/spoc/801eda91ee9543db80e4ae1fb2973050
[4] 离散数学_中国大学MOOC(慕课) https://www.icourse163.org/course/detail.htm?cid=1450284374
[5] 课程大纲-教务系统 https://jwxk.ucas.ac.cn/course/courseplan/233692?locale=zh_CN
[6] 《离散数学》教学大纲\n一､课程基本信息\n课程类别 学科基(pdf) http://ai.dgcu.edu.cn/ueditor/jsp/upload/file/20220317/1647513175943036744.pdf
[7] 专科人工智能2025年课程体系解读，越来越实用，摆脱“天坑”从课程体系开始！-抖音 https://www.iesdouyin.com/share/video/7537241850869075258/?did=MS4wLjABAAAANwkJuWIRFOzg5uCpDRpMj4OX-QryoDgn-yYlXQnRwQQ&from_aid=1128&from_ssr=1&iid=MS4wLjABAAAANwkJuWIRFOzg5uCpDRpMj4OX-QryoDgn-yYlXQnRwQQ&mid=7537241848214358810®ion=&scene_from=dy_open_search_video&share_sign=UJExSjXlaalZ7NbYTZFQR1lK2PJyiincgOfGh2jQ97o-&share_track_info=%7B%22link_description_type%22%3A%22%22%7D&share_version=280700&titleType=title&ts=1755867233&u_code=0&video_share_track_ver=&with_sec_did=1
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[14] 人工智能中的数学，概率论，如果变量状态是有限的，或者无限可数的，就是离散变量-抖音 https://www.iesdouyin.com/share/video/7299758050699758911/?did=MS4wLjABAAAANwkJuWIRFOzg5uCpDRpMj4OX-QryoDgn-yYlXQnRwQQ&from_aid=1128&from_ssr=1&iid=MS4wLjABAAAANwkJuWIRFOzg5uCpDRpMj4OX-QryoDgn-yYlXQnRwQQ&mid=7073513130432661541®ion=&scene_from=dy_open_search_video&share_sign=XiSIaIHMmBpx_H5x9cdbT.GqUQ..7aNIUajEO2GpzT0-&share_track_info=%7B%22link_description_type%22%3A%22%22%7D&share_version=280700&titleType=title&ts=1755867233&u_code=0&video_share_track_ver=&with_sec_did=1
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[19] 探索离散数学的未来:AI驱动的智能化学习与应用开发-CSDN博客 https://blog.csdn.net/AmethystFox57/article/details/146394375
[20] 数学与智能编程:探索离散数学在现代软件开发中的应用-CSDN博客 https://blog.csdn.net/inscode_087/article/details/145980997
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[26] 《图像处理与机器学习：算法深度解析与应用实践》例程介绍 介绍了《图像处理与机器学习：算法深度解析与应用实践》一书的python例程，c++例程-抖音 https://www.iesdouyin.com/share/video/7497967460906208527/?did=MS4wLjABAAAANwkJuWIRFOzg5uCpDRpMj4OX-QryoDgn-yYlXQnRwQQ&from_aid=1128&from_ssr=1&iid=MS4wLjABAAAANwkJuWIRFOzg5uCpDRpMj4OX-QryoDgn-yYlXQnRwQQ&mid=7497968473580571403®ion=&scene_from=dy_open_search_video&share_sign=XI4O_Z6NdmsB9BU72qOAPB4Xdv4AWGUf3Ps6nmH020o-&share_track_info=%7B%22link_description_type%22%3A%22%22%7D&share_version=280700&titleType=title&ts=1755867274&u_code=0&video_share_track_ver=&with_sec_did=1
[27] 图论：没想到并查集这么简单 ！-抖音 https://www.iesdouyin.com/share/video/7512031146117451060/?did=MS4wLjABAAAANwkJuWIRFOzg5uCpDRpMj4OX-QryoDgn-yYlXQnRwQQ&from_aid=1128&from_ssr=1&iid=MS4wLjABAAAANwkJuWIRFOzg5uCpDRpMj4OX-QryoDgn-yYlXQnRwQQ&mid=7512031827079498546®ion=&scene_from=dy_open_search_video&share_sign=XCitO2W6DG5jmipYhYWMnE9aX3KE7f_7lsQJNTf02pE-&share_track_info=%7B%22link_description_type%22%3A%22%22%7D&share_version=280700&titleType=title&ts=1755867274&u_code=0&video_share_track_ver=&with_sec_did=1
[28] 离散数学 | Coursera https://www.coursera.org/learn/discrete-mathematics-ch#about
[29] 离散数学—智慧树网 http://coursehome.zhihuishu.com/courseHome/1000012409
[30] 离散数学(上) https://coursehome.zhihuishu.com/courseHome/1000003955/308914/23
[31] Discrete Mathematics (AI Class) https://teaching.mlclab.org/DisMath/ai.htm
[32] Discrete Mathematics for Computer Science (UPDATED 2025) https://www.udemy.com/course/discrete-mathematics-and-its-applications/?srsltid=AfmBOoo64KQqbqhTQTur-gwFEpww4E7zsUp8eTefahRGMr4WYw5_sbpr
[33] 课程 - 国家高等教育智慧教育平台 https://higher.smartedu.cn/course/678842c7225d72705e643a6f
[34] 离散数学_中国大学MOOC(慕课) https://www.icourse163.org/course/detail.htm?cid=1450398164
[35] 基因组特征工程的k-mer编码全解析:从数学原理到工业级实现-CSDN博客 https://blog.csdn.net/qq_22409661/article/details/146061126
[36] 揭秘组合算法的秘密:从理论到实战，10个应用场景大揭秘 - CSDN文库 https://wenku.csdn.net/column/57nooiycgk
[37] 组合数学在生物信息学中的应用-洞察阐释.docx - 人人文库 https://m.renrendoc.com/paper/438142378.html
[38] 排列组合在生物信息学中的应用.docx - 人人文库 https://m.renrendoc.com/paper/355427797.html
[39] 基因组组装算法-CSDN博客 https://blog.csdn.net/weixin_30924087/article/details/97472294
[40] 组合数学在生物信息学中的应用-洞察阐释-金锄头文库 https://www.jinchutou.com/shtml/view-600344783.html
[41] Combinatorial analysis and algorithms for quasispecies reconstruction using next-generation sequencing--外文学术期刊【掌桥科研】 https://m.zhangqiaokeyan.com/academic-journal-foreign_detail_thesis/0204114012760.html
